Главное

Производная — предел отношения приращений, характеризующий мгновенную скорость изменения и наклон касательной. Её знак помогает исследовать монотонность.

Касательная в точке x₀ задаётся y=f(x₀)+f′(x₀)(x−x₀). Если f′ положительна на промежутке, функция возрастает; если отрицательна — убывает. Равенство производной нулю само по себе ещё не доказывает экстремум: проверяют изменение знака.

Разобранный пример

Для f(x)=x³−3x производная 3x²−3 равна нулю при ±1; знак производной меняется в этих точках.

Частая ошибка

Равенство производной нулю само по себе не доказывает экстремум.

Что входит в тему

  • Производная
  • Физический и геометрический смысл производной
  • Правила вычисления производных
  • Связь производной с возрастанием и убыванием функции

Учебники и источники

Указанные издания допущены или рекомендованы Минобразования Республики Беларусь. Ссылки ведут на внешние копии; официальный каталог учебников. Объяснение и пример — самостоятельное изложение Krok для повторения темы.