Что такое квадратное уравнение

Квадратным называется уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — числа и a ≠ 0. Число a называют старшим коэффициентом, b — вторым коэффициентом, c — свободным членом.

Если a = 0, уравнение перестаёт быть квадратным и становится линейным: bx + c = 0.

Дискриминант

Сколько корней у уравнения, показывает дискриминант:

D = b² − 4ac

  • D > 0 — два различных корня;
  • D = 0 — один корень (два совпадающих);
  • D < 0 — действительных корней нет.

Формула корней

Если D ≥ 0, корни находятся по формуле:

x = (−b ± √D) / (2a)

Пример: x² − 5x + 6 = 0. Здесь a = 1, b = −5, c = 6. D = 25 − 24 = 1. Корни: x = (5 − 1) / 2 = 2 и x = (5 + 1) / 2 = 3.

Неполные квадратные уравнения

Если b = 0 или c = 0, дискриминант не нужен:

  • ax² + c = 0: x² = −c/a. Если −c/a > 0, корни x = ±√(−c/a); если −c/a < 0, корней нет. Пример: x² − 49 = 0, x = ±7.
  • ax² + bx = 0: вынесите x за скобку: x(ax + b) = 0, откуда x = 0 или x = −b/a. Пример: 5x² − 20x = 0, x = 0 или x = 4.
  • ax² = 0: единственный корень x = 0.

Теорема Виета

Если у уравнения ax² + bx + c = 0 есть корни x₁ и x₂, то:

  • x₁ + x₂ = −b/a;
  • x₁ · x₂ = c/a.

Для приведённого уравнения (a = 1) это x₁ + x₂ = −b и x₁ · x₂ = c. Так удобно проверять ответ и подбирать корни устно: у x² − 5x + 6 = 0 сумма корней 5, произведение 6 — это 2 и 3.

Частые ошибки

  • Забывают знак у b: в x² − 5x + 6 = 0 коэффициент b = −5, а не 5.
  • Считают дискриминант как b² + 4ac.
  • Делят только −b на 2a, забывая про √D: знаменатель 2a относится ко всему числителю.
  • Применяют теорему Виета, когда D < 0: корней нет — сумму и произведение корней искать нельзя.

<!-- topic-note -->

Главное

У ax²+bx+c=0, a≠0, дискриминант D=b²−4ac. При D≥0 корни (−b±√D)/(2a). По Виету их сумма −b/a, произведение c/a.

Если D<0, действительных корней нет; если D=0, один корень −b/(2a). При c=0 удобно вынести x, при b=0 — изолировать x². Теорему Виета применяют с учётом коэффициента a, а не только к приведённому уравнению.

Разобранный пример

x²−5x+6=0: D=1, корни (5±1)/2 — 2 и 3. Их сумма 5, произведение 6.

Частая ошибка

При D<0 действительных корней нет; при D=0 корень один.

Что входит в тему

  • Квадратные уравнения
  • Формулы корней квадратного уравнения
  • Теорема Виета
  • Теорема, обратная теореме Виета

Учебники и источники

Указанные издания допущены или рекомендованы Минобразования Республики Беларусь. Ссылки ведут на внешние копии; официальный каталог учебников. Объяснение и пример — самостоятельное изложение Krok для повторения темы.