Краткий конспект
Обзор разделов для повторения. Подробные объяснения и упражнения — в учебниках, перечисленных внизу страницы.
Содержание конспекта
Числа, дроби, проценты
Натуральные числа используют для счёта. Целые включают ноль и отрицательные числа. Рациональное число представимо дробью m/n с целыми m и ненулевым n; действительные числа включают также иррациональные, например √2. Модуль числа — расстояние от его точки до нуля, поэтому он неотрицателен.
Простое число имеет ровно два натуральных делителя. Для поиска НОД в разложениях на простые множители берут общие множители в наименьших степенях; для НОК — все множители в наибольших. Например, 12 = 2²·3, 18 = 2·3²: НОД = 6, НОК = 36. Делимость на 3 и 9 проверяют по сумме цифр, на 4 — по числу из двух последних цифр.
При сложении дробей сначала получают общий знаменатель; при делении умножают на обратную дробь. Сокращать можно множители числителя и знаменателя, а не отдельные слагаемые. Процент — сотая часть: p процентов от a равны ap/100. Два последовательных повышения на 10 % дают множитель 1,1² = 1,21, то есть повышение на 21 %.
Прямая пропорциональность задаётся y = kx, обратная — y = k/x. В пропорции a/b = c/d произведения ad и bc равны при ненулевых знаменателях. При округлении смотрят на первую отбрасываемую цифру.
Степени, корни и логарифмы
При одинаковом основании степени перемножают сложением показателей, делят вычитанием; при возведении степени в степень показатели перемножают. Отрицательный целый показатель означает обратную величину: a⁻² = 1/a², a ≠ 0. Для рациональных показателей безопасно сначала записать условия существования выражения; при положительном основании действуют обычные правила степеней.
Арифметический корень чётной степени неотрицателен и существует для неотрицательного подкоренного выражения. Поэтому √(x²) = |x|. Корень нечётной степени существует и для отрицательных чисел: ∛(−8) = −2.
Равенство logₐb = c означает aᶜ = b; условия: a > 0, a ≠ 1, b > 0. Логарифм произведения равен сумме логарифмов, частного — разности; logₐ(bᵏ) = k·logₐb при b > 0. Переход к новому основанию: logₐb = log꜀b / log꜀a. Логарифм суммы нельзя заменять суммой логарифмов.
Преобразование выражений и тригонометрия
Основные формулы: (a ± b)² = a² ± 2ab + b²; a² − b² = (a − b)(a + b). Перед преобразованием дроби исключают нули знаменателя. Полученное после сокращения выражение сохраняет ограничения исходного.
На единичной окружности cos α — абсцисса точки, sin α — ордината; tg α = sin α/cos α, ctg α = cos α/sin α при ненулевом знаменателе. Полный оборот равен 2π радиан, 180° = π радиан. Главное тождество: sin²α + cos²α = 1.
Формулы сложения: sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β; cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β. Из них следуют sin 2α = 2sin α cos α и cos 2α = cos²α − sin²α. При формулах приведения сначала определяют знак функции по четверти, затем проверяют, меняется ли её название.
Арксинус выбирает значение на [−π/2; π/2], арккосинус — на [0; π], арктангенс — на (−π/2; π/2). Это основные значения; общее решение уравнения учитывает периодичность.
Подробнее: Арефьева, Пирютко. Алгебра, 10 класс, главы о тригонометрии, корнях и производной; Алгебра, 11 класс (белорусское издание), степени и логарифмы.
Уравнения, неравенства, системы
В уравнении ax + b = 0 при a ≠ 0 корень x = −b/a. Если a = 0, отдельно проверяют b: решений либо нет, либо подходит любое допустимое x. У квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 дискриминант D = b² − 4ac. При D ≥ 0 корни x = (−b ± √D)/(2a). Теорема Виета: сумма корней −b/a, произведение c/a.
При дробно-рациональном уравнении сначала записывают ОДЗ. При возведении в квадрат проверяют найденные корни в исходном уравнении: преобразование может добавить посторонние. Систему решают подстановкой или сложением; решение должно удовлетворять каждому уравнению.
Умножение неравенства на отрицательное число меняет знак. Метод интервалов: перенести всё в одну сторону, разложить на множители, отметить нули и запрещённые точки, определить знаки на промежутках. При чётной кратности нуля знак не меняется. В системе ответы пересекают, в совокупности объединяют.
Для показательных и логарифмических неравенств учитывают монотонность: при основании больше 1 функция возрастает, между 0 и 1 — убывает. Например, (1/2)ˣ > (1/2)³ означает x < 3. У логарифмов обязательно проверяют положительность аргументов.
Функции, координаты, прогрессии, производная
Область определения — допустимые значения аргумента, множество значений — получаемые значения функции. Нули находятся из f(x) = 0. Чётная функция удовлетворяет f(−x) = f(x), нечётная — f(−x) = −f(x), причём область определения должна быть симметрична относительно нуля. На графике определяют промежутки знакопостоянства, возрастания, убывания и экстремумы.
Прямая задаётся y = kx + b. Для параболы y = ax² + bx + c ось симметрии x = −b/(2a), направление ветвей определяется знаком a. Окружность: (x − a)² + (y − b)² = R². Расстояние между точками равно √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). У y = k/x исключён x = 0; у y = √x требуется x ≥ 0; у y = logₐx требуется x > 0.
В арифметической прогрессии aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. В геометрической bₙ = b₁qⁿ⁻¹; при q ≠ 1 сумма Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1). Бесконечная сумма b₁/(1 − q) существует при |q| < 1.
Производная описывает мгновенную скорость изменения и угловой коэффициент касательной. Правила: (f + g)′ = f′ + g′, (fg)′ = f′g + fg′, (f/g)′ = (f′g − fg′)/g². Если f′ положительна на промежутке, функция там возрастает; если отрицательна — убывает. Для наибольшего значения на отрезке сравнивают значения в критических точках и на концах.
Планиметрия
Сумма углов треугольника 180°. Равенство треугольников доказывают по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам, по трём сторонам. При подобии отношения соответствующих сторон равны k, площадей — k². В прямоугольном треугольнике a² + b² = c²; теорема косинусов обобщает это: c² = a² + b² − 2ab cos γ. Теорема синусов связывает сторону с синусом противолежащего угла и диаметром описанной окружности.
Медианы пересекаются в отношении 2:1 от вершины; биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и вдвое короче её. Для четырёхугольников отдельно проверяют свойства сторон, углов и диагоналей: у ромба диагонали перпендикулярны, у прямоугольника равны.
Площадь треугольника: ah/2 или ab sin γ/2. Площадь параллелограмма ah, трапеции (a + b)h/2, круга πR². Длина окружности 2πR. Вписанный угол равен половине соответствующего центрального. Радиус в точку касания перпендикулярен касательной; отрезки касательных из одной внешней точки равны.
Стереометрия, векторы, построения
При работе в пространстве сначала определяют взаимное положение прямых и плоскостей, затем строят нужное сечение. Угол прямой с плоскостью измеряют между прямой и её ортогональной проекцией; линейный угол двугранного угла строят перпендикулярами к ребру.
Объёмы: призма и цилиндр — Sосн·h, пирамида и конус — Sосн·h/3, шар — 4πR³/3. Поверхность шара — 4πR². Для конуса боковая поверхность πRl, где l — образующая, а не высота.
Векторы складывают по правилу треугольника или параллелограмма; скалярное произведение a·b = |a||b|cos α. Нулевое скалярное произведение ненулевых векторов означает перпендикулярность. В построении циркулем и линейкой дают сам алгоритм, доказательство и исследование числа решений.
Источники по геометрии: Казаков. Геометрия, 9 класс, Латотин и др. Геометрия, 10 класс, Геометрия, 11 класс.